Conjugação analítica entre sistemas diferenciais planares e sistemas potenciais
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2024-12-19
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Resumo
O clássico Teorema da Forma Normal de Poincaré afirma que um ponto crítico de um campo vetorial planar analítico é um centro não degenerado se e somente se houver uma mudança de coordenada analítica tal que nas novas coordenadas o campo vetorial inicial seja da forma $f(x^2+y^2)(y \partial/\partial x - x \partial / \partial y)$, onde f é uma função analítica definida em uma vizinhança da origem tal que $f(0)>0$. Neste artigo é provado que um campo vetorial planar analítico com um centro não degenerado em $(0,0)$ é analiticamente conjugado, em uma vizinhança de $(0,0)$, a um campo vetorial hamiltoniano da forma $y \partial / \partial x -V'(x) \partial / \partial y$, onde $V$ é uma função analítica definida em uma vizinhança da origem tal que $V(0)=V'(0)=0 e V''(0)>0$. Este resultado é uma resposta parcial a um problema proposto por Chicone em 1987.
Abstract
The classic Poincaré Normal Form Theorem states that a critical point of an analytic planar vector field is a non-degenerate center if and only if there is an analytic coordinate change such that in the new coordinates the vector field initial is of the form $f(x^2+y^2)\big(y\frac{\partial}{\partial x}-x\frac{\partial}{\partial y}\big)$, where $f$ is an analytic function defined in a neighborhood of the origin such that $f(0)>0.$ In this article it is proved that an analytical planar vector field with a non-degenerate center at $(0,0)$ is analytically conjugate, in a neighborhood of $(0,0)$, to a Hamiltonian vector field of the form $y\frac{\partial}{\partial x}-V'(x)\frac{\partial}{\partial y}$, where $V$ is an analytic function defined in a neighborhood of the origin such that $V(0)=V'(0)=0$ and $V''(0)>0.$ This result is a partial answer to a problem proposed by Chicone in 1987.